מתמטריק
קיץ 2025 מועד א – שאלה 1 סעיף אאינדוקציה 571 · בגרות 571
אינדוקציה · שאלון 571

קיץ 2025 מועד א – שאלה 1 סעיף א

פרק 6 – שאלות בגרות 571 – אינדוקציה
1נוסח השאלה
2סעיף א (1) – הוכחה באינדוקציה
3סעיף א (2) – חישוב הסכום
📄 נוסח השאלה
(1) הוכיחו באינדוקצייה מתמטית, או בכל דרך אחרת, כי לכל n טבעי מתקיים:
22 + 42 + 62 + … + (2n)2
= 2n(n + 1)(2n + 1)3
(2) חשבו את הערך של הסכום: 42 + 62 + 82 + … + 1002.
סעיף א (1) – הוכחה באינדוקציה
22 + 42 + 62 + … + (2n)2
= 2n(n + 1)(2n + 1)3
שלב 1 – בסיס האינדוקציה: בדיקה בעבור n = 1
📐 אינדוקציה מתמטית
אגף שמאל: 22 = 4. אגף ימין:
2 · 1 · 2 · 33 = 123 = 4 ✓
שלב 2 – הנחת האינדוקציה:
נניח שהטענה נכונה בעבור n = k, כאשר k טבעי כלשהו:
22 + 42 + … + (2k)2
= 2k(k + 1)(2k + 1)3
שלב 3 – צעד האינדוקציה: נוכיח בעבור n = k + 1
📐 אינדוקציה מתמטית
1. בסיס: בדיקה בעבור n = 1
2. הנחה: נכון בעבור n = k
3. צעד: נוכיח בעבור n = k + 1
4. מסקנה: נכון לכל n טבעי
סעיף א (1) – הוכחה באינדוקציה · המשך
22 + 42 + 62 + … + (2n)2
= 2n(n + 1)(2n + 1)3
שלב 3 – צעד האינדוקציה: נוכיח בעבור n = k + 1
צריך להוכיח:
האיבר האחרון בעבור n = k + 1: (2k + 2)2.
22 + … + (2k)2 + (2k + 2)2
= 2(k + 1)(k + 2)(2k + 3)3
נפריד את האיבר האחרון ונציב את ההנחה:
📐 הנחת האינדוקציה
= 2k(k + 1)(2k + 1)3 + (2k + 2)2
נשים לב: (2k + 2)2 = 4(k + 1)2.
נוציא גורם משותף 2(k + 1)3:
📐 הוצאת גורם משותף
📐 הנחת האינדוקציה
22 + … + (2k)2
= 2k(k + 1)(2k + 1)3
📐 הוצאת גורם משותף
ab + ac = a(b + c)
סעיף א (1) – הוכחה באינדוקציה · המשך
22 + 42 + 62 + … + (2n)2
= 2n(n + 1)(2n + 1)3
נוציא גורם משותף 2(k + 1)3:
📐 הוצאת גורם משותף
= 2(k + 1)3 ·
[k(2k + 1) + 6(k + 1)]
= 2(k + 1)3 · (2k2 + 7k + 6)
נפרק, ונבדוק בפתיחת סוגריים:
📐 פתיחת סוגריים
= 2(k + 1)(k + 2)(2k + 3)3 ✓
שלב 4 – מסקנה:
הטענה נכונה בעבור n = 1, והוכחנו שאם היא נכונה בעבור n = k אז היא נכונה גם בעבור n = k + 1. לפי עקרון האינדוקציה, הטענה נכונה לכל n טבעי.
✅ פתרון סופי: הוכח ✓
📐 הוצאת גורם משותף
ab + ac = a(b + c)
📐 פתיחת סוגריים
(k + 2)(2k + 3)
= 2k2 + 3k + 4k + 6
= 2k2 + 7k + 6
סעיף א (2) – חישוב הסכום
22 + 42 + 62 + … + (2n)2
= 2n(n + 1)(2n + 1)3
100 = 2 · 50, ולכן 22 + 42 + … + 1002 הוא הסכום בעבור n = 50. בסכום שלנו חסר האיבר הראשון 22.
22 + … + 1002
📐 הנוסחה מסעיף (1)
= 2 · 50 · 51 · 1013 = 171700
42 + … + 1002 = 171700 − 22
= 171700 − 4 = 171696
✅ פתרון סופי: 171696
📐 הנוסחה מסעיף (1)
22 + … + (2n)2
= 2n(n + 1)(2n + 1)3

📌 ארבעת השלבים של הוכחה באינדוקציה

📐 בסיס והנחה
1. בסיס: בודקים בעבור n = 1
2. הנחה: נכון בעבור n = k
📐 צעד ומסקנה
3. צעד: מוכיחים בעבור n = k + 1
4. מסקנה: נכון לכל n טבעי
💡 בצעד תמיד מפרידים את האיבר האחרון ומציבים את הנחת האינדוקציה.
מתמטריק
© כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il
→ / רווח / לחיצה = הבא · ← = אחורה · F = מסך מלא